La matriz como deformación del plano

Una máquina que transforma vectores

En el apartado anterior los vectores eran flechas quietas. Ahora vamos a moverlas. Imagina una máquina: le das un vector y te devuelve otro. A esa máquina la llamamos transformación y la representamos con una letra, por ejemplo $T$ . Si le damos el vector $\mathbf{x}$ , el vector que nos devuelve se escribe $T(\mathbf{x})$ y se llama imagen de $\mathbf{x}$ .

Si la máquina actúa sobre todos los puntos del plano a la vez, el plano entero se deforma: se estira, gira, se inclina o se aplasta. En este apartado estudiamos las transformaciones más importantes, las que se describen con una matriz.

Qué es una matriz

Una matriz $2 \times 2$ (se lee «dos por dos») es una tabla de cuatro números colocados en dos filas (horizontales) y dos columnas (verticales):

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

La letra $A$ es el nombre de la matriz, y $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son sus elementos. La primera fila es $a \;\; b$ ; la segunda, $c \;\; d$ . La primera columna es $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ y la segunda, $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ . Fíjate en que cada columna es, en sí misma, un vector: esto será lo importante.

Multiplicar una matriz por un vector

La matriz $A$ transforma un vector $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ en otro vector, que escribimos $A\mathbf{x}$ (se lee « $A$ por $\mathbf{x}$ »). Se calcula así:

A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\,x + b\,y \\ c\,x + d\,y \end{pmatrix}

La regla para recordarlo es «fila por columna»: para la primera componente del resultado, recorres la primera fila de $A$ ( $a$ , $b$ ) y, a la vez, el vector de arriba abajo ( $x$ , $y$ ); multiplicas por parejas y sumas: $a\,x + b\,y$ . Para la segunda componente haces lo mismo con la segunda fila: $c\,x + d\,y$ .

Por ejemplo:

\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}

La idea clave: las columnas dicen adónde van los ejes

Veamos qué hace $A$ con los dos vectores de la base canónica del apartado anterior, $\mathbf{e}_1 = (1,\, 0)$ y $\mathbf{e}_2 = (0,\, 1)$ :

A\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + b \cdot 0 \\ c \cdot 1 + d \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \qquad A\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} a \cdot 0 + b \cdot 1 \\ c \cdot 0 + d \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}

¡Salen exactamente las columnas de la matriz! La primera columna es adónde va $\mathbf{e}_1$ y la segunda, adónde va $\mathbf{e}_2$ .

Y ahora lo mejor. Si reordenamos la fórmula de $A\mathbf{x}$ separando lo que lleva $x$ de lo que lleva $y$ :

A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a\,x + b\,y \\ c\,x + d\,y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = x\,(A\mathbf{e}_1) + y\,(A\mathbf{e}_2)

Léelo despacio. En el apartado anterior vimos que $\mathbf{x} = x\,\mathbf{e}_1 + y\,\mathbf{e}_2$ . La matriz respeta esa receta: el vector transformado se fabrica con los mismos coeficientes $x$ e $y$ , pero usando las flechas transformadas $A\mathbf{e}_1$ y $A\mathbf{e}_2$ en lugar de $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ . Por eso a estas transformaciones se las llama lineales: conservan las combinaciones lineales. Lo hemos visto con $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ , y con la misma cuenta se comprueba que, para cualquier par de vectores $\mathbf{u}$ , $\mathbf{v}$ y cualquier par de números $\alpha$ , $\beta$ (las letras griegas «alfa» y «beta»), se cumple $A(\alpha\,\mathbf{u} + \beta\,\mathbf{v}) = \alpha\,A\mathbf{u} + \beta\,A\mathbf{v}$ .

De esta propiedad salen tres consecuencias que verás en la app:

El origen no se mueve: $A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ , porque $0 \cdot (A\mathbf{e}_1) + 0 \cdot (A\mathbf{e}_2) = \mathbf{0}$ .
Las rectas siguen siendo rectas (o, en el caso extremo, se aplastan en un punto): nunca se curvan.
La cuadrícula sigue siendo una cuadrícula: las líneas que eran paralelas siguen siéndolo y siguen igual de separadas entre sí. Los cuadrados pasan a ser paralelogramos, todos iguales (si el plano se aplasta, quedan reducidos a segmentos o a un punto).

Pruébalo: una matriz deforma el plano

En la app, cambia los cuatro números de la matriz o elige un ejemplo. La cuadrícula azul es el plano ya transformado; la cuadrícula gris clara del fondo es el plano original, y el cuadrado gris discontinuo es el cuadrado de lado 1 antes de transformar. La flecha azul es $A\mathbf{e}_1$ (la primera columna) y la naranja es $A\mathbf{e}_2$ (la segunda). El paralelogramo violeta es lo que queda del cuadrado de lado 1 que forman $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ . Si el determinante (lo verás enseguida) es 0, en lugar de la cuadrícula azul aparece una recta violeta gruesa: la recta en la que cae todo el plano. Mueve el deslizador «Avance» o pulsa «Animar» para ver la deformación poco a poco.

Ojo: la animación pasa de «no hacer nada» a $A$ por el camino más directo entre sus números, no girando de verdad. Por eso, con «Girar 90°», el cuadrado encoge a mitad de camino, y con «Reflejo», el plano se aplasta un instante antes de darse la vuelta. Lo que cuenta es el resultado final, al 100 %.

App interactiva Una matriz deforma el plano

Empieza con la cizalla: el eje x se queda quieto y el eje y se inclina. Después prueba «Girar 90°», «Reflejo» y «Det = 0», y fíjate en qué les pasa a las flechas y al paralelogramo violeta.

Un catálogo de transformaciones

Con la idea de las columnas podemos construir la matriz de una transformación sin hacer ninguna cuenta: basta decidir adónde queremos que vayan $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ y escribirlo en columnas.

Transformación	Adónde va $\mathbf{e}_1$	Adónde va $\mathbf{e}_2$	Matriz
Identidad (no hace nada)	$(1,\, 0)$	$(0,\, 1)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Escalar por $k$ (todas las longitudes se multiplican por $k$ )	$(k,\, 0)$	$(0,\, k)$	$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$
Estirar solo en horizontal, por $k$	$(k,\, 0)$	$(0,\, 1)$	$\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Cizalla horizontal	$(1,\, 0)$	$(k,\, 1)$	$\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Reflejo en el eje $x$ (espejo)	$(1,\, 0)$	$(0,\, -1)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
Proyección sobre el eje $x$	$(1,\, 0)$	$(0,\, 0)$	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

La matriz que no tiene ningún efecto se llama matriz identidad y se escribe $I$ . La cizalla es la deformación de una baraja de cartas que empujas por arriba: cada fila horizontal se desliza hacia un lado, más cuanto más alta está. El número $k$ indica cuánto se desliza: el punto $(x,\, y)$ va a parar a $(x + k\,y,\, y)$ .

El giro

Para girar el plano un ángulo $\theta$ (la letra griega «theta») en sentido contrario a las agujas del reloj, necesitamos saber adónde va la flecha $\mathbf{e}_1$ , que mide 1 y apunta hacia la derecha. Al girarla un ángulo $\theta$ acaba en el punto de la circunferencia de radio 1 que forma ese ángulo con el eje $x$ . Las coordenadas de ese punto tienen nombre propio: son, por definición, el coseno y el seno de $\theta$ , es decir, $(\cos\theta,\, \operatorname{sen}\theta)$ .

La flecha $\mathbf{e}_2$ va siempre un cuarto de vuelta por delante de $\mathbf{e}_1$ . Al girar una flecha $(p,\, q)$ un cuarto de vuelta, sus componentes se intercambian y la nueva primera cambia de signo: queda $(-q,\, p)$ . Compruébalo con $(1,\, 0) \to (0,\, 1)$ y con $(0,\, 1) \to (-1,\, 0)$ , o con un dibujo: el triángulo rectángulo de catetos $p$ y $q$ gira junto con la flecha y sus catetos pasan de horizontal a vertical. Así que $\mathbf{e}_2$ acaba en $(-\operatorname{sen}\theta,\, \cos\theta)$ . Por tanto, la matriz del giro, que llamamos $R_\theta$ (R de rotación), es:

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\operatorname{sen}\theta \\ \operatorname{sen}\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

Por ejemplo, para un cuarto de vuelta, $\theta = 90^\circ$ , se tiene $\cos 90^\circ = 0$ y $\operatorname{sen} 90^\circ = 1$ . Lo verás en el segundo ejercicio resuelto.

El determinante: cuánto cambian las áreas

Mira el paralelogramo violeta de la app. Antes de transformar, era un cuadrado de lado 1 y, por tanto, de área (superficie) 1. Después, es el paralelogramo que forman las dos columnas de la matriz, $(a,\, c)$ y $(b,\, d)$ . ¿Cuánto mide su área? La respuesta tiene nombre propio.

De dónde sale

Tomemos el caso del dibujo: todos los números son positivos y la flecha de la primera columna queda por debajo de la de la segunda (para ir de una a otra se gira en sentido contrario a las agujas del reloj). El paralelogramo cabe dentro de un rectángulo de base $a + b$ y altura $c + d$ . Si al área del rectángulo le quitamos los trozos que sobran, queda el área del paralelogramo:

El paralelogramo violeta está dentro de un rectángulo de base a + b y altura c + d. Lo que sobra son dos triángulos amarillos (de catetos a y c), dos triángulos verdes (de catetos b y d) y dos rectángulos grises (de lados b y c). En el dibujo, a = 3, b = 1, c = 1 y d = 2, así que el área del paralelogramo es 3 · 2 − 1 · 1 = 5.

\underbrace{(a+b)(c+d)}_{\text{rectángulo}} - \underbrace{2 \cdot \tfrac{a\,c}{2}}_{\text{triángulos amarillos}} - \underbrace{2 \cdot \tfrac{b\,d}{2}}_{\text{triángulos verdes}} - \underbrace{2\,b\,c}_{\text{rectángulos grises}}

Desarrollamos el producto, $(a+b)(c+d) = a\,c + a\,d + b\,c + b\,d$ , y restamos:

a\,c + a\,d + b\,c + b\,d - a\,c - b\,d - 2\,b\,c = a\,d - b\,c

Con otras posiciones de las flechas el dibujo cambia, pero se puede comprobar que el resultado es siempre el mismo salvo, quizá, el signo: el área del paralelogramo es siempre $\lvert a\,d - b\,c \rvert$ . Las barras $\lvert \; \rvert$ indican el valor absoluto, el número sin su signo (por ejemplo, $\lvert -3 \rvert = 3$ ).

Qué significa

Como todos los cuadraditos de la cuadrícula se convierten en paralelogramos iguales, cualquier figura cambia su área en el mismo factor. Así se lee el determinante:

ResultadoInterpretación del determinante

$\lvert \det A \rvert$ es el factor por el que se multiplican las áreas. Si $\det A = 3$ , todo ocupa el triple. Si vale $\tfrac12$ , la mitad.
Si $\det A$ es negativo, además el plano se da la vuelta, como en un espejo: para ir de $\mathbf{e}_1$ a $\mathbf{e}_2$ se gira en sentido contrario a las agujas del reloj, pero para ir de $A\mathbf{e}_1$ a $A\mathbf{e}_2$ hay que girar en el sentido de las agujas. En la app, el paralelogramo se vuelve naranja.
Si $\det A = 0$ , las dos columnas están alineadas y el plano entero se aplasta en una recta (o en el origen). El área se hace cero y la transformación no se puede deshacer, porque muchos puntos distintos acaban en el mismo sitio.

La última idea conecta con el apartado anterior: $\det A = 0$ significa exactamente que las columnas $(a,\, c)$ y $(b,\, d)$ son linealmente dependientes, así que solo generan una recta (o el origen). Y todas las imágenes $A\mathbf{x} = x\,(a,\, c) + y\,(b,\, d)$ son combinaciones de esas columnas.

Veámoslo con cuentas. Si una columna es múltiplo de la otra, por ejemplo $(b,\, d) = k\,(a,\, c)$ , entonces $a\,d - b\,c = a\,(k\,c) - (k\,a)\,c = 0$ . Y al revés: si $a\,d = b\,c$ y $a \neq 0$ , entonces $d = \tfrac{b}{a}\,c$ , así que $(b,\, d) = \tfrac{b}{a}\,(a,\, c)$ . Si $a = 0$ , queda $b\,c = 0$ : o bien $c = 0$ , y la primera columna es el vector nulo, o bien $b = 0$ , y las dos columnas están sobre el eje $y$ . En todos los casos las columnas son dependientes.

Ejercicios resueltos

Ejercicio resuelto

Transformar un vector

Calcula $A\mathbf{x}$ para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $\mathbf{x} = (3,\, -1)$ de dos maneras: con la regla «fila por columna» y con las columnas.

Fila por columna

A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}

Con las columnas

Las columnas son $A\mathbf{e}_1 = (2,\, 0)$ y $A\mathbf{e}_2 = (1,\, 1)$ . Como $\mathbf{x} = 3\,\mathbf{e}_1 - 1\,\mathbf{e}_2$ , su imagen es

A\mathbf{x} = 3 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - 1 \\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}

Las dos maneras dan lo mismo, como debe ser.

Solución

$A\mathbf{x} = (5,\, -1)$ .

Ejercicio resuelto

La matriz de un cuarto de vuelta

Encuentra la matriz que gira el plano $90^\circ$ en sentido contrario a las agujas del reloj. Úsala para girar el vector $(2,\, 1)$ y calcula su determinante.

Decidimos adónde van e₁ y e₂

Al girar un cuarto de vuelta, la flecha $\mathbf{e}_1 = (1,\, 0)$ , que apunta a la derecha, pasa a apuntar hacia arriba: $(0,\, 1)$ . La flecha $\mathbf{e}_2 = (0,\, 1)$ , que apunta hacia arriba, pasa a apuntar a la izquierda: $(-1,\, 0)$ .

Lo escribimos en columnas

A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Coincide con la fórmula del giro $R_\theta$ para $\theta = 90^\circ$ , porque $\cos 90^\circ = 0$ y $\operatorname{sen} 90^\circ = 1$ .

Giramos el vector (2, 1)

A \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}

Comprobación visual: $(2,\, 1)$ apunta a la derecha y un poco hacia arriba; $(-1,\, 2)$ apunta hacia arriba y un poco a la izquierda. Es un cuarto de vuelta. Además, las dos flechas miden lo mismo: $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ .

Calculamos el determinante

\det A = 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 = 0 + 1 = 1

Un giro no cambia las áreas ni da la vuelta al plano, así que tiene sentido que el determinante valga exactamente 1.

Solución

$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , el vector girado es $(-1,\, 2)$ y $\det A = 1$ .

Ejercicio resuelto

Una matriz que aplasta el plano

Sea $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ . Calcula su determinante, describe en qué se convierte el plano y encuentra un vector distinto de cero que vaya a parar al origen.

Calculamos el determinante

\det A = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 4 - 4 = 0

El determinante es cero, así que el plano se aplasta.

Vemos en qué recta cae todo

Las columnas son $(2,\, 4)$ y $(1,\, 2)$ , y la primera es el doble de la segunda: están alineadas. Cualquier imagen es

A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 4x + 2y \end{pmatrix} = (2x + y) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}

Es decir, todo cae en la recta formada por los múltiplos de $(1,\, 2)$ : la recta que pasa por el origen y en la que la segunda coordenada es el doble de la primera.

Buscamos un vector que vaya al origen

La imagen es $(2x + y)\,(1,\, 2)$ , que es el vector nulo cuando $2x + y = 0$ , es decir, cuando $y = -2x$ . Por ejemplo, con $x = 1$ e $y = -2$ :

A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \\ 4 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}

Como $(1,\, -2)$ y $(0,\, 0)$ acaban los dos en el origen, al ver el resultado no se puede saber de cuál de ellos venía. Por eso esta transformación no se puede deshacer.

Solución

$\det A = 0$ . El plano entero se aplasta en la recta formada por los múltiplos de $(1,\, 2)$ , y el vector $(1,\, -2)$ (o cualquier múltiplo suyo) va a parar al origen. Puedes verlo en la app con el ejemplo «Det = 0».

Vídeo del apartado

Vídeo próximamente

Vídeo La matriz como deformación del plano

Resumen

Una matriz $2 \times 2$ transforma vectores: $A\mathbf{x} = (a\,x + b\,y,\; c\,x + d\,y)$ , con la regla «fila por columna».
Las columnas de $A$ son las imágenes de $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ , y $A\mathbf{x} = x\,(A\mathbf{e}_1) + y\,(A\mathbf{e}_2)$ .
Para construir la matriz de una transformación, se escribe en columnas adónde van $\mathbf{e}_1$ y $\mathbf{e}_2$ .
El determinante, $\det A = a\,d - b\,c$ , mide el factor por el que se multiplican las áreas. Si es negativo, el plano se da la vuelta; si es cero, el plano se aplasta.