Autovectores y autovalores

La pregunta: ¿qué flechas no giran?

En el apartado anterior vimos que una matriz $A$ deforma el plano: cada flecha $\mathbf{v}$ se convierte en otra, $A\mathbf{v}$. En general, la flecha transformada apunta hacia otro sitio: la matriz la gira, además de estirarla o encogerla.

Pero a veces ocurre algo especial: hay flechas que, al transformarlas, siguen sobre la misma recta. La matriz solo las alarga, las encoge o les da la vuelta, sin sacarlas de su recta. Recuerda del primer apartado que eso es exactamente lo que hace multiplicar por un número: así que, para esas flechas, aplicar la matriz equivale a multiplicar por un número.

El autovalor dice qué le hace la matriz a su autovector:

• Si $\lambda > 1$, lo alarga. Por ejemplo, con $\lambda = 3$ mide el triple.
• Si $\lambda = 1$, lo deja igual.
• Si $0 < \lambda < 1$, lo encoge.
• Si $\lambda = 0$, lo aplasta en el origen: $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• Si $\lambda < 0$, le da la vuelta (y además lo estira si $\lvert \lambda \rvert > 1$ o lo encoge si $\lvert \lambda \rvert < 1$).

¿Por qué se exige que $\mathbf{v}$ no sea nulo? Porque el vector nulo cumpliría la ecuación con cualquier número: $A\mathbf{0} = \mathbf{0} = \lambda\,\mathbf{0}$ para todo $\lambda$. No nos diría nada de la matriz.

Los autovectores vienen en rectas enteras

Si $\mathbf{v}$ es un autovector con autovalor $\lambda$, cualquier múltiplo suyo $k\,\mathbf{v}$ (con $k \neq 0$) también lo es, y con el mismo autovalor. Esto es así porque la matriz conserva las combinaciones lineales (lo vimos en el apartado anterior), así que $A(k\,\mathbf{v}) = k\,A\mathbf{v}$:

Por eso, más que de autovectores sueltos, conviene hablar de direcciones de autovectores: rectas que pasan por el origen y que la matriz no gira. En la app se dibujan con trazo discontinuo violeta. Cuando todas las direcciones son de autovectores, la app no dibuja rectas y lo avisa con un mensaje.

Búscalos a ojo

En la app, gira la flecha $\mathbf{v}$ (oscura, o clara si usas el modo oscuro) con el deslizador «Dirección» o arrastrando su punta. La flecha naranja es $A\mathbf{v}$. Casi siempre apuntan a sitios distintos, pero en algunas direcciones las dos flechas quedan sobre la misma recta: la app lo marca en verde y te dice cuánto vale $\lambda$. Pulsa «Dar la vuelta a v» para recorrer todas las direcciones; al pasar por un autovector, el giro se frena.

Buscar a ojo sirve para entender la idea, pero no da números exactos. Veamos cómo calcularlos.

Cómo se calculan

Paso 1: reescribir la ecuación

Escribamos $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ y $\mathbf{v} = (x,\, y)$, y pasemos todo al mismo lado: $A\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{v}$ es lo mismo que $A\mathbf{v} - \lambda\,\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Restando componente a componente,

La última matriz es $A$ con $\lambda$ restado a los dos números de la diagonal. La llamamos $A - \lambda I$, porque es lo que queda al restar a $A$, casilla a casilla, la matriz $\lambda I = \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$ (la identidad $I$ con cada número multiplicado por $\lambda$):

Así que buscar autovectores es lo mismo que resolver

El símbolo $\Longleftrightarrow$ significa «es lo mismo que».

Paso 2: la condición del determinante

Buscamos un vector no nulo $\mathbf{v}$ que la matriz $A - \lambda I$ mande al origen. Eso solo puede pasar si $A - \lambda I$ aplasta el plano, es decir, si su determinante es cero:

• Si un vector no nulo $\mathbf{v} = (x,\, y)$ va a parar al origen, entonces $x\,(\text{primera columna}) + y\,(\text{segunda columna}) = \mathbf{0}$, con $x$ e $y$ no los dos nulos (recuerda que una matriz por un vector es combinar sus columnas). Si $x \neq 0$, despejando, la primera columna es $-\tfrac{y}{x}$ veces la segunda. Si $x = 0$, entonces $y \neq 0$ y la segunda columna es el vector nulo. En los dos casos las columnas son dependientes y, como vimos en el apartado anterior, el determinante vale 0. Con dibujos: el paralelogramo formado por $\mathbf{v}$ y otro vector no alineado con él tiene área positiva, y al transformarlo se queda con un lado de longitud cero y área 0; eso solo es posible si el factor de áreas es 0.
• Y al revés: si el determinante es 0, las dos columnas están alineadas, así que una es múltiplo de la otra; por ejemplo, $\text{segunda columna} = k\cdot\text{primera columna}$. Entonces $k\cdot(\text{primera columna}) + (-1)\cdot(\text{segunda columna}) = \mathbf{0}$, es decir, el vector $(k,\, -1)$ va a parar al origen, y no es nulo porque su segunda componente es $-1$. Si es al revés ($\text{primera columna} = k\cdot\text{segunda columna}$), sirve $(1,\, -k)$. Así salía el $(1,\, -2)$ del último ejercicio del apartado anterior: $1 \cdot (2,\, 4) + (-2) \cdot (1,\, 2) = (0,\, 0)$.

Paso 3: el polinomio característico

Calculamos ese determinante con la regla «diagonal que baja menos diagonal que sube»:

Desarrollamos el producto, $(a - \lambda)(d - \lambda) = a\,d - a\,\lambda - d\,\lambda + \lambda^2$, y ordenamos por potencias de $\lambda$:

Aparecen dos números conocidos. El último es el determinante, $\det A = a\,d - b\,c$. El del medio, $a + d$, es la suma de los números de la diagonal y se llama traza de la matriz: $\operatorname{tr} A = a + d$. Así que los autovalores son las soluciones de la ecuación de segundo grado

Al lado izquierdo se le llama polinomio característico de $A$.

Paso 4: resolver la ecuación de segundo grado

Con la fórmula de la ecuación de segundo grado:

El número $\Delta$ (la letra griega «delta» mayúscula) se llama discriminante y decide cuántas soluciones hay:

• Si $\Delta > 0$, hay dos autovalores distintos y, por tanto, dos direcciones distintas de autovectores: un mismo vector no nulo no puede tener dos autovalores, porque $\lambda_1\,\mathbf{v} = \lambda_2\,\mathbf{v}$ obliga a $\lambda_1 = \lambda_2$.
• Si $\Delta = 0$, hay un único autovalor, $\lambda = \tfrac{\operatorname{tr} A}{2}$. Si $A$ no es $\lambda I$, hay exactamente una dirección; si $A = \lambda I$, todas las direcciones valen.
• Si $\Delta < 0$, la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real: no hay autovalores reales y ninguna flecha conserva su dirección.

Paso 5: los autovectores de cada autovalor

Para cada autovalor $\lambda$ resolvemos $(A - \lambda I)\,\mathbf{v} = \mathbf{0}$, es decir, el sistema

Como $\det(A - \lambda I) = 0$, también las dos filas de $A - \lambda I$ son proporcionales: la cuenta del apartado anterior sirve igual para las filas $(a,\, b)$ y $(c,\, d)$, porque $a\,d - b\,c$ no cambia si se intercambian $b$ y $c$. Así que las dos ecuaciones dicen lo mismo (o una de ellas es $0 = 0$), y basta con usar una que no sea $0 = 0$. Esa ecuación describe una recta por el origen: la dirección de los autovectores.

Ejercicios resueltos

Para qué sirve

Los autovectores son las direcciones naturales de una transformación: a lo largo de ellas, la matriz se comporta como un simple número. Esta idea aparece por todas partes. Las direcciones en las que un material se estira más, los modos en que vibra una cuerda o un puente, los estados de energía en mecánica cuántica o la importancia de una página web en un buscador se calculan, en el fondo, buscando autovectores.

Vídeo del apartado

Resumen

• Un autovector de $A$ es un vector no nulo $\mathbf{v}$ con $A\mathbf{v} = \lambda\,\mathbf{v}$: la matriz no lo saca de su recta. El número $\lambda$ es su autovalor.
• Los autovalores son las soluciones de $\det(A - \lambda I) = 0$, que para una matriz $2 \times 2$ es $\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0$.
• El discriminante $\Delta = (\operatorname{tr} A)^2 - 4 \det A$ dice si hay dos autovalores, uno o ninguno real.
• Para cada $\lambda$, los autovectores se obtienen resolviendo $(A - \lambda I)\,\mathbf{v} = \mathbf{0}$.